Παρασκευή, 29 Ιανουαρίου 2010

Η υπόθεση του Πουανκαρέ και η περίεργη λύση της από τον Πέρελμαν



Το πρόβλημα που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος επιστήμονας Ανρί Πουανκαρέ αφορά την Τοπολογία, ένα κλάδο των Μαθηματικών που δεν ενδιαφέρεται για το ακριβές σχήμα των στερεών σωμάτων (σφαίρα, κύβος, πυραμίδα κ.λπ.), αλλά για τα ποιοτικά χαρακτηριστικά τους, π.χ. αν είναι συμπαγή ή αν έχουν τρύπες. Οι εφαρμογές αυτού του σχετικά νέου κλάδου των Μαθηματικών είναι εξαιρετικά σημαντικές σε τομείς όπως τα δίκτυα υπολογιστών και συγκοινωνιών, όπου δεν μας ενδιαφέρουν τα ακριβή σχήματα, αλλά οι «κόμβοι» και οι διασυνδέσεις (σκεφθείτε, για παράδειγμα, το λειτουργικό διάγραμμα του μετρό, που δεν απεικονίζει ακριβώς τη γεωγραφία της πόλης, αλλά μας επιτρέπει εύκολα να βρούμε τον δρόμο μας).

Σε χοντρικές γραμμές, η υπόθεση Πουανκαρέ καθορίζει ποια στερεά σώματα (ή «πολλαπλότητες» σε αφηρημένους μαθηματικούς χώρους άνω των τριών διαστάσεων) είναι ισοδύναμα, από τοπολογική άποψη με μια σφαίρα και ποια όχι. Π.χ., ένας κύβος από πλαστελίνη είναι ισοδύναμος με σφαίρα, αφού μπορούμε να τον «πλάσουμε» σε στυλ σφαίρας, ενώ ένα ντόνατ δεν είναι, γιατί έχει τρύπα στη μέση.

Φαντασθείτε ότι έχετε ένα λάστιχο, ένα μήλο και ένα ντόνατ με τρύπα στη μέση. Αν τραβήξετε το λάστιχο και το τοποθετήσετε περιμετρικά γύρω από το μήλο, θα μπορείτε να μετακινήσετε το λάστιχο από τον «ισημερινό» στον «πόλο» του μήλου, χωρίς να σκίσετε το λάστιχο και χωρίς να εγκαταλείψετε την επιφάνεια του μήλου. Αν, όμως, το λάστιχο τοποθετηθεί πάνω στην επιφάνεια του ντόνατ, τότε δεν υπάρχει τρόπος να μετακινήσουμε το λάστιχο σε όλη την επιφάνεια του ντόνατ, χωρίς να σκίσουμε ή το ένα ή το άλλο. Ο Πουανκαρέ υπέθεσε ότι κάτι ανάλογο συμβαίνει και στον τετραδιάστατο χώρο, ενώ σύγχρονοι μαθηματικοί απέδειξαν ότι κάτι τέτοιο συμβαίνει και σε χώρο περισσότερων των τεσσάρων διαστάσεων. Άγνωστο παρέμενε, όμως, μέχρι την εμφάνιση του Πέρελμαν στη σκηνή, εάν η αρχική Υπόθεση του Πουενκαρέ ισχύει. Αν η απόδειξη του Ρώσου μαθηματικού στέκει, τότε αυτό θα έχει σημαντικές πρακτικές εφαρμογές στον τομέα του σχεδιασμού και της κατασκευής ηλεκτρονικών κυκλωμάτων, αλλά και συγκοινωνιακών δικτύων.

O Πουανκαρέ χαρακτηρίσθηκε ως «ο τελευταίος αναγεννησιακός άνθρωπος», ένας μαθηματικός που αισθανόταν άνετα σε κάθε τομέα των Μαθηματικών, όπως την ανάλυση, την άλγεβρα, την τοπολογία, την αστρονομία και τη θεωρητική φυσική. Ο Γάλλος μαθηματικός ήταν μεγάλος οραματιστής και πρώτος εξέφρασε τη βασική αρχή της Θεωρίας του Χάους, ότι δηλαδή «μικρές διαφορές στις αρχικές συνθήκες προκαλούν μεγάλες διαφορές στο τελικό αποτέλεσμα». 










Πριν από έξι χρόνια συγκλόνισε την παγκόσμια επιστημονική κοινότητα, ανακοινώνοντας ότι έλυσε έναν από τους μεγαλύτερους γρίφους των σύγχρονων Μαθηματικών, τη λεγόμενη «υπόθεση του Πουανκαρέ», ένα πρόβλημα που έμενε άλυτο από το 1904, όταν διατυπώθηκε για πρώτη φορά.O Γκριγκόρι Πέρελμαν, ο ιδιόρρυθμος Ρώσος μαθηματικός με τη μακριά γενειάδα και το αφηρημένο ύφος, έλαμψε διά της απουσίας του από το διεθνές μαθηματικό συνέδριο της Μαδρίτης, όπου επρόκειτο να του απονεμηθεί η ύψιστη τιμητική διάκριση, το βραβείο Φιλντς (αντίστοιχτο των βραβείων Νομπέλ στα Μαθηματικά) για το επίτευγμά του. Ο 40χρονος επιστήμονας αδιαφορεί για την αναγνώριση και τα χρηματικά έπαθλα. Έχει δηλώσει μάλιστα ότι δεν τον ενδιαφέρει ούτε το βραβείο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων (1.000.000) που ενδέχεται να του απονείμει το αμερικανικό ίδρυμα Κλέι για την επίλυση του μεγάλου γρίφου -δεύτερο επίτευγμα αυτού του επιπέδου κατά τα τελευταία χρόνια, μετά την απόδειξη του περίφημου θεωρήματος του Φερμά. Το πρόβλημα είναι ότι ο Πέρελμαν δεν είναι ένας Μαθηματικός σαν τους άλλους. Οπως και οι συνάδελφοί του, λατρεύει την επιστήμη του, αλλά αδιαφορεί για τις δημόσιες σχέσεις. Αντί να δημοσιεύει επιστημονικές μελέτες σε επιθεωρήσεις Μαθηματικών, πρώτο βήμα για τη διεθνή αναγνώριση και την απόκτηση ακαδημαϊκών τίτλων και θώκων, ο Πέρελμαν προτιμά να δημοσιεύει μερικές διάσπαρτες σημειώσεις του στο Ίντερνετ. Συνηθίζει επίσης να εξαφανίζεται, χωρίς να προειδοποιεί κανέναν, καθώς όλοι οι συνάδελφοί του στο Ινστιτούτο Στεκλόφ της Αγίας Πετρούπολης ξέρουν ότι προτιμά τα ρωσικά δάση από τις συζητήσεις και τις επαφές με τους ανθρώπους.

Το Νοέμβριο του 2002, δημοσιεύει σε ιστοσελίδα του Πανεπιστημίου Κορνέλ ορισμένες ενδείξεις, που λένε ότι η Υπόθεση του Πουανκαρέ έχει αποδειχθεί. Προσφέρει ορισμένες κατευθυντήριες γραμμές, βασισμένες στο ερευνητικό έργο άλλων Μαθηματικών, αλλά η πρόζα του δεν αποτελεί σε καμιά περίπτωση απόδειξη της Υπόθεσης. Η πρώτη αυτή δημοσίευση προκαλεί, ωστόσο, σεισμό στο χώρο των Μαθηματικών.

Στις αρχές του 2003, ο Πέρελμαν δημοσιεύει δύο νέα μηνύματα (γιατί για τέτοια πρόκειται) αναφέροντας χωρίς περιστροφές ότι κατέχει τη λύση. Τα κείμενα αυτά, όμως, στερούνται και πάλι λεπτομερειών. «Ο Πέρελμαν ανήκει στην κατηγορία αυτή των Μαθηματικών, οι οποίοι δεν έχουν χρόνο για λεπτομέρειες. Τα γραπτά του περιέχουν ελάχιστους υπολογισμούς, αποδείξεις και βασικές έννοιες», εξηγεί Μαθηματικός του Πρίνστον.

Ρώσος συνάδελφός του απλουστεύει τα πράγματα: «Ο Γκριγκόρι αδιαφορεί για τα χρήματα. Έρχεται, εξηγεί αυτό που θέλει και όλα τα άλλα είναι περιττά».



Πηγή: http://moschonas.gr/
          http://www.mathcom.gr

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Site Translator-Μεταφραστής

Αναγνώστες

Το banner μας


Αντιγράψτε τον κωδικό για να τοποθετήσετε αυτό το banner στη σελίδα σας!

Sync it